Liczby Eulera Granice ciągu Ciągi geometryczne

Granice pewnych ciągów specjalnych

Twierdzenie 1: o granicy ciągu stałego

$ \lim_{n\to \infty}{a}=a $

Uwaga 1:

Granicą ciągu stałego jest liczba będąca wartością każdego wyrazu tego ciągu.

Przykład 1:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\frac{(3n-9)(n+1)}{n^2-2n-3}} $

Rozwiązanie:
Przekształcimy wyraz ciągu zapisując mianownik w postaci iloczynowej

$ \lim_{n\to \infty}{\frac{(3n-9)(n+1)}{n^2-2n-3}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{3(n-3)(n+1)}{(n-3)(n+1)}}=\lim_{n\to \infty}{3}=3 $

Twierdzenie 2: o granicy ciągu geometrycznego

$ \lim_{n\to \infty}{q^n}=\begin{cases}\hskip 1cm 0,&dla&|q| < 1\\ \hskip 1cm 1,&dla&q=1\\ \hskip 1cm+\infty&dla&q > 1\\ \textrm{nie istnieje,}&dla&q\leq -1\end{cases} $

Uwaga 2:

Ciąg geometryczny $ q^n $ jest zbieżny jedynie dla $ q \in (-1,1] $.

Przykład 2:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\frac{2\cdot 3^{n+1}+4^{1-n}+2^{3n+2}}{5^{n-1}+4^{n+2}+3\cdot 8^{n-1}}} $.

Rozwiązanie:
Na początek rozpiszemy wszystkie potęgi w liczniku i mianowniku ułamka będącego wyrazem ciągu tak, aby w wykładnikach nie było sum, ani różnic

$ \lim_{n\to \infty}{\frac{2\cdot 3^{n+1}+4^{1-n}+2^{3n+2}}{5^{n-1}+4^{n+2}+3\cdot 8^{n-1}}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{6\cdot 3^n+4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n+4\cdot 8^n}{\frac{1}{5}\cdot 5^n+16\cdot 4^n+\frac{3}{8}\cdot 8^n}} $.

z twierdzenia o granicy ciągu geometrycznego wiemy, że $ \lim_{n\to \infty}{3^n}=\lim_{n\to \infty}{4^n}=\lim_{n\to \infty}{5^n}=\lim_{n\to \infty}{8^n}=+\infty $ oraz $ \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{1}{4}\right)^n}=0 $, więc musimy przekształcić wyrażenie tak, aby w liczniku i mianowniku pojawiły się ciągi zbieżne. W tym celu wyłączymy potęgę o najwyższej podstawie z licznika i mianownika otrzymując

$ \lim_{n\to \infty}{\frac{6\cdot 3^n+4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n+4\cdot 8^n}{\frac{1}{5}\cdot 5^n+16\cdot 4^n+\frac{3}{8}\cdot 8^n}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{8^n\left(6\cdot \left(\frac{3}{8}\right)^n+4\cdot \left(\frac{1}{32}\right)^n+4\right)}{8^n\left(\frac{1}{5}\cdot \left(\frac{5}{8}\right)^n+16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n+\frac{3}{8}\right)}} $

Znów korzystamy z twierdzenia o granicy ciągu geometrycznego otrzymując $ \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{3}{8}\right)^n}=\lim_{n\to \infty}{\left(\frac{1}{32}\right)^n}=\lim_{n\to \infty}{\left(\frac{5}{8}\right)^n}=\lim_{n\to \infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^n}=0 $. Zatem

$ \lim_{n\to \infty}{\frac{8^n\left(6\cdot \left(\frac{3}{8}\right)^n+4\cdot \left(\frac{1}{32}\right)^n+4\right)}{8^n\left(\frac{1}{5}\cdot \left(\frac{5}{8}\right)^n+16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n+\frac{3}{8}\right)}}=\left[\frac{6\cdot 0+4\cdot 0+4}{\frac{1}{5}\cdot 0+16\cdot 0+\frac{3}{8}}\right]=\frac{32}{3} $

Przykład 3:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\left[4^n+(-1)^n\right]} $.

Rozwiązanie:
Skorzystamy z twierdzenia o dwóch ciągach i ograniczenia $ (-1)^n\geq -1 $ prawdziwego dla wszystkich $ n $ naturalnych. Wyraz badanego ciągu ograniczamy od dołu

$ 4^n-1\leq 4^n+(-1)^n $.

Wiemy, że $ \lim_{n\to \infty}{\left[4^n-1\right]}=[+\infty -1]=+\infty $, a zatem ciąg o wyrazach mniejszych jest rozbieżny do $ +\infty $, czyli $ \lim_{n\to \infty}{\left[4^n+(-1)^n\right]}=+\infty $.

Twierdzenie 3: o granicy pierwiastka stopnia $ n $-tego ze stałej

$ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{q}}=1, $ dla $ q>0 $

Przykład 4:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{2+3^{n+1}+4^{n-1}+2\cdot 5^{1-n}}} $.

Rozwiązanie:
Na początek rozpiszemy wszystkie potęgi występujące pod pierwiastkiem tak, aby w wykładnikach nie było sum, ani różnic

$ \sqrt[n]{2+3^{n+1}+4^{n-1}+2\cdot 5^{1-n}}=\sqrt[n]{2+3^{n}\cdot 3+4^{n}\cdot \frac{1}{4}+10\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^n}. $

Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach, gdzie przy ograniczeniu od góry wszystkie potęgi o niższych podstawach zastępujemy potęgą o podstawie największej $ 4^n $, traktując stałą $ 2 $ jako $ 2\cdot 1^n $, a przy ograniczaniu od dołu opuszczamy wszystkie wyrażenia zawierające potęgi o podstawach mniejszych niż $ 4 $

$ \sqrt[n]{\frac{1}{4}\cdot 4^n}\leq \sqrt[n]{2+3^{n}\cdot 3+4^{n}\cdot \frac{1}{4}+10\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^n}\leq \sqrt[n]{2\cdot 4^n+4^n\cdot 3+4^n\cdot \frac{1}{4}+10\cdot 4^n} $

Obliczamy granice ciągów skrajnych korzystając z twierdzenia o granicy pierwiastka stopnia $ n $-tego ze stałej $ \lim_{n \to \infty}{\sqrt[n]{\frac{1}{4}\cdot 4^n}}=\lim_{n \to \infty}{4 \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{4}}}=[4 \cdot 1]=4 $
oraz
$ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{2\cdot 4^n+4^n\cdot 3+4^n\cdot \frac{1}{4}+10\cdot 4^n}}=\lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{15\frac{1}{4}\cdot 4^n}}=\lim_{n\to \infty}{4\cdot \sqrt[n]{15\frac{1}{4}}}=[4\cdot 1]=4 $.
Ponieważ ciągi skrajne mają taką samą granicę, to $ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{2+3^{n+1}+4^{n-1}+2\cdot 5^{1-n}}}=4 $.

Twierdzenie 4: o granicy pierwiastka stopnia $ n $-tego z liczby $ n $

$ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n}}=1 $

Przykład 5:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\frac{1}{\sqrt[n]{n}-1}}. $

Rozwiązanie:
Z twierdzenia o granicy pierwiastka stopnia $ n $-tego z liczby $ n $ wiemy, że $ \lim_{n\to \infty}{\left(\sqrt[n]{n}-1\right)}=[1-1]=0 $ i zauważamy, że $ \sqrt[n]{n}-1 > 0 $ dla $ n\geq 2 $.

Zatem z odpowiedniego symbolu oznaczonego otrzymujemy $ \lim_{n\to \infty}{\frac{1}{\sqrt[n]{n}-1}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty. $ .

Przykład 6:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[2n+1]{n^2+1}} $.

Rozwiązanie:
Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach ograniczając wyraz badanego ciągu od góry i od dołu tak, aby można było skorzystać z twierdzenia o granicy pierwiastka stopnia $ n $-tego z liczby $ n $

$ \sqrt[2n+1]{1}\leq \sqrt[2n+1]{n^2+1}\leq \sqrt[2n+1]{4n^2+4n+1}. $

Zauważmy, że
$ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[2n+1]{1}}=\lim_{n\to \infty}{1}=1 $
oraz
$ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[2n+1]{4n^2+4n+1}}=\lim_{n\to \infty}{\sqrt[2n+1]{(2n+1)^2}}=\lim_{n\to \infty}{\sqrt[2n+1]{2n+1}^2}=[1^2]=1 $
Oczywiście granica $ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[2n+1]{2n+1}} $ jest taka sama jak granica $ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n}} $, gdyż wystarczy podstawić za $ 2n+1 $ nową zmienną $ k $ też będącą liczbą naturalną i skorzystać z tw. o granicy pierwiastka stopnia $ k $-tego z liczby $ k $.
Ponieważ skrajne ciągi mają taką sama granicę, to $ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[2n+1]{n^2+1}}=1 $.

$Wykres ciągu {OPENAGHMATHJAX()}a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 1: Wykres ciągu $ a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $

Rys. 1 przedstawia wykres ciągu $ a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $. Zauważamy, że jest to ciąg rosnący, ograniczony od dołu przez liczbę $ 2 $, a od góry przez liczbę $ 2,8 $. Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wnioskujemy, że jest to ciąg zbieżny.

Twierdzenie 5: o własnościach ciągu $ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $

Ciąg $ a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $ jest rosnący i ograniczony.

Uwaga 3:

Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym możemy wywnioskować, że ciąg $ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $ jest zbieżny.

Definicja 1: liczba Eulera lub Nepera

Granicę ciągu $ a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $ nazywamy liczbą Eulera lub Nepera.

Uwaga 4: Oznaczenie liczby Eulera

Liczbę Eulera oznaczmy przez $ e=\lim_{n\to \infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} $ i w przybliżeniu ma ona wartość liczbową $ e=2,71828. $

Komentarz
Liczba Eulera, znana również pod nazwą liczby Nepera, pojawia się jako jedna z podstawowych wielkości w fizyce, a także ekonomii, naukach społecznych itp. Liczba $ e $ jest wykorzystywana w wielu zagadnieniach matematycznych, widzimy ją w podstawie tzw. logarytmu naturalnego oraz jako podstawę funkcji wykładniczej $ e^x $, która jest niezastąpiona w równaniach różniczkowych, wystepuje we wzorach funkcji specjalnych, liczbach zespolonych itd.

Przykład 7:

Oblicz granicę ciągu $ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n $

Rozwiązanie:
Ponieważ $ \lim_{n\to \infty}{\frac{n}{n+1}}=1 $, to $ \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n}=\left[1^{\infty}\right] $.
Przekształcimy wyraz badanego ciągu tak, aby pozbyć się symbolu nieoznaczonego i w granicy odnaleźć liczbę Eulera
$ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n}=\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{-1} $

Czyli $ \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n}=e^{-1} $.

Przykład 8:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{an+b}} $ dla $ a\in \mathbb{R}\setminus \{0\} $.

Rozwiązanie:
Ponieważ $ \lim_{n\to \infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{an+b}}=\left[1^{\pm \infty}\right] $, gdzie znak w wykładnku zależy od znaku liczby $ a $, spróbujemy wykorzystać liczbę Eulera
$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{an+b}=\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^a\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^b. $

Obliczamy granicę $ \lim_{n\to \infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{an+b}}=\left[e^a\cdot 1^b\right]=e^a $

Przykład 9:

Oblicz $ \lim_{n\to \infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n} $.

Rozwiązanie:
Ponieważ $ \lim_{n\to \infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}=\left[1^{\infty}\right] $ to przekształcimy wyraz ciągu tak, aby skorzystać z liczby Eulera
$ \left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-n}=\left(\frac{n-1+1}{n-1}\right)^{-n}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}\stackrel{k=n-1}{=}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{-k-1}=\left[\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right]^{-1}\cdot \left(1+\frac{1}{k}\right)^{-1} $
Zauważamy że warunek $ n\to \infty $ równoważny jest warunkowi $ k\to \infty $, czyli obliczamy granicę

$ \lim_{n\to \infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}=\lim_{k\to \infty}{\left[\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right]^{-1}\cdot \left(1+\frac{1}{k}\right)^{-1}}=\left[e^{-1}\cdot 1^{-1}\right]=\frac{1}{e} $

Matematyka